PROPIEDADES DE LA ESPERANZA,VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTANDAR

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA EZPERANZA

1.    Es única. Para un conjunto de datos existe una y solo una media aritmética.

EJ: se tiene un conjunto de valores cuya distribución de frecuencia es.

x	3	4	5
P(X=x)	5/9	3/9	1/9

Al calcular la esperanza lo que nos indica es el valor central que se encuentra entre la mayoría de datos. Por ende no puede haber sino un único valor para dicho conjunto de datos que para este caso dado la formula

E(x)=3.55

2.    Puesto que todos y cada uno de los valores en el conjunto de datos entra en el cálculo de la media, esta es afectada por cada valor. Por lo tanto, los valores extremos influyen sobre la media y, en algunos casos, pueden distorsionarla tanto que llega a ser indeseable como medida de tendencia central.                                                                                                                                                

EJ: médicos que trabajan en cinco áreas son llamados a declarar sus cobros por realizar cierto procedimiento. Suponga que se reporta lo siguiente: $75, $75, $80 y 280$ en promedio para cada una de las áreas. El cobro medio para las cinco áreas es de $118, un valor que no es muy representativo del conjunto de datos. El único valor atípico del conjunto tuvo el efecto de inflar la media.

PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y LA DESVIACION ESTANDAR

1.    La varianza y la desviación estándar son no negativas, es decir s² ≥ 0 y s ≥ 0 para cualquier serie de datos.

EJ: dada la siguiente distribución de frecuencia, se determinara la varianza y desviación estándar.

x	3
P(X=x)	13/13

            E(X)= 3                                                                  S=√0

            S²= (3-3)2 x 13/13 = 0                                           S=0     

Esto significa que no hay varianza entre los datos ni desviación estándar por ende, es decir todos los valores de los datos son iguales.

2.    Si cada uno de los datos x_1, x₂,…,x_n es igual a un mismo valor fijo o constante k, entonces la varianza S² y la desviación estándar S son iguales a cero.

EJ: fue explicado en el ejemplo anterior en el intento de demostrar cual es el valor mínimo que puede tomar la varianza y desviación estándar.

3.    Si cada uno de los datos originales se multiplica por un mismo número real cualquiera k, la varianza y la desviación estándar de los nuevos datos kx₁, kx₂,…, kx_n viene dadas por k²s² y lklS respectivamente.es decir que se produce una alteración en la dispersión de los nuevos datos, bien sea aumentando o disminuyendo, dependiendo del valor k.

EJ: k=4

                                                 

x	3 x k	4 x k	5 x k
P(X=x)	5/9	3/9	1/9

             

        E(X)= 14.22

       1.a S²=0.168+0.0675+0.233613=0.46913 es el resultado sin la constante k.

       3.b S²= (12-14.22)² x 5/9  +  (16-14.22)² x 3/9  +  (20-14.22)²x 1/9 =7.506 es el              resultado con la constante k.

Al remplazar la formula k²s² tendremos que (4)² x (0.46913) =7.506 por tanto se cumple que la constante k elevada al cuadrado por la varianza de 1.a es igual a la varianza de 3.b

FORMULAS

E(a + bX)= a + bE(X)

Var(X)= E(X2) − (E(X))2

Var(a + bX)= b2Var (X)